Сегодня в большинстве случаев дети осваивают простейшие математические действия еще в дошкольном возрасте. Родители стараются самостоятельно обучить малышей основам математики, чтобы при поступлении в школу у них уже была сформирована небольшая, но основательная база знаний. Одним из навыков, которые можно легко изучить дома, является счет в столбик.
Подготовка к обучению
Прежде чем начать изучение счета в столбик, родителям необходимо удостовериться в готовности ребенка к занятиям. В первую очередь юный математик должен без проблем считать от 0 до 10 и легко различать все эти числа на письме. Если навык еще не закреплен или вообще не освоен, нужно обязательно заняться восполнением пробела. Наиболее эффективные методики представлены в статье « ».
Кроме того, ребенок уже должен понимать принципы простых математических действий, а именно сложения и вычитания. Тренироваться следует ежедневно, оттачивая навыки на находящихся рядом предметах — игрушках, конфетах, яблоках, счетных палочках и т. д. Как только ребенок будет достаточно уверенно складывать и вычитать однозначные числа, можно переходить к более сложным задачам.
Считаем в столбик
Понятно, что сложение и вычитание однозначных чисел в столбик бессмысленно — эти действия ребенок, как правило, выполняет в уме. Сложности же возникают при работе с двузначными числами — начинающему математику трудно сконцентрироваться и просчитать все без визуального представления. В этом случае на помощь ребенку приходит проверенная несколькими поколениями методика — счет в столбик.
Конечно, учителя математика знают, как научить ребенка считать столбиком, а вот родители чаще всего даже не представляют, с чего начать занятия. А начинать надо с базы — объяснения такого математического понятия, как разрядность. Ребенку важно понимать, каким образом составляются двузначные (а затем — и трехзначные) числа и как они записываются при счете столбиком. Сразу же можно выполнять очень простое, но эффективное упражнение — запись в столбик однозначных и двузначных чисел. Задача такого упражнения — научить ребенка правильно располагать числа с разной разрядностью друг под другом. Малыш должен понимать, что единицы пишутся под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями и т. д.
Освоив этот базовый навык, ребенок может переходить к следующему этапу — непосредственно счету. Необходимо объяснить малышу, что складывать и вычитать числа нужно по разрядам — единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. Причем счет нужно вести обязательно от единиц, т. е. справа налево.
Некоторые трудности возникают при сложении чисел, цифры которых в сумме дают больше «10», например, 24 + 18. Ребенку нужно рассказать, что в данном случае сумма единиц — «4» и «8» составляет «12». При этом под единицами в итоговой сумме записать нужно тоже только единицу, т. е. «2». А десятки — «1» — необходимо «оставить в уме». При сложении уже десятков — «2» и «1» в данном примере — нужно обязательно добавить и «оставленную в уме» десятку, т. е. «1». В итоге сложение десятков выглядит как 2 + 1 + 1 и дает в сумме «4». Конечная сумма составляет «42». Аналогичные действия необходимо совершать и при вычитании, когда цифры уменьшаемого меньше цифр вычитаемого. Например, 41 — 15. Только в этом случае нужно «оставленные в уме» цифры не добавлять, а отнимать.
Итак, сама по себе методика обучения ребенка счету в столбик достаточно понятна. Но помимо нее, родителям следует ознакомиться с общими советами, которые помогут сделать занятия с малышом более эффективными:
- Будьте последовательными и терпеливыми . Многие взрослые считают, что определяются возрастом и скоростью освоения нового учебного материала. Однако заставлять детей заниматься по ускоренной программе не стоит. До счета в столбик нужно «дорасти», изучив сначала основы, о которых уже было сказано выше.
- Повторение — мать учения. Успех занятий зависит от количества времени, посвященного практике. При каждом удобном случае обращайтесь к ребенку «за помощью» — просите его посчитать числа в столбик и обязательно благодарите, когда получите результат.
- Используйте дополнительные материалы . Детские книжки по математике, рабочие тетради, схемы и картинки помогут детям быстрее усвоить материал, т.к., как правило, они лучше воспринимают информацию, представленную наглядно.
- Переведите учебу в игру. Этот совет является универсальным для всех учебных занятий. Если у вас есть возможность включить в процесс обучения игровой элемент, ребенок будет более внимательным и увлеченным.
Важно понимать, что умение считать в столбик не определяет . Поэтому не стоит предъявлять к малышу высокие требования — он обязательно сможет самостоятельно выполнить математические действия столбиком, когда сам будет к этому готов.
Удобно проводить особым методом, который получил название вычитание столбиком или вычитание в столбик . Этот способ вычитания оправдывает свое название, так как уменьшаемое, вычитаемое и разность записываются в столбик. Промежуточные вычисления также проводятся в столбиках, соответствующих разрядам чисел.
Удобство вычитания натуральных чисел столбиком заключается в простоте вычислений. Вычисления сводятся к использованию таблицы сложения и применению свойств вычитания.
Давайте разберемся, как выполняется вычитание столбиком. Процесс вычитания будем рассматривать вместе с решением примеров. Так будет понятнее.
Навигация по странице.
Что необходимо знать для вычитания столбиком?
Для вычитания натуральных чисел столбиком необходимо знать, во-первых, как выполняется вычитание с помощью таблицы сложения .
Наконец, не помешает повторить определение разряда натуральных чисел .
Вычитание столбиком на примерах.
Начнем с записи. Сначала записывается уменьшаемое. Под уменьшаемым располагается вычитаемое. Причем делается это так, что цифры оказываются одна под другой, начиная справа. Слева от записанных чисел ставится знак минус, а внизу проводится горизонтальная линия, под которой будет записан результат после проведения необходимых действий.
Приведем несколько примеров правильных записей при вычитании столбиком. Запишем в столбик разность 56−9 , разность 3 004−1 670 , а так же 203 604 500−56 777 .
Итак, с записью разобрались.
Переходим к описанию процесса вычитания столбиком. Его суть заключается в последовательном вычитании значений соответствующих разрядов. Сначала вычитаются значения разряда единиц, далее – значения разряда десятков, далее – значения разряда сотен и т.д. Результаты записываются под горизонтальной линией на соответствующих местах. Число, которое образуется под линией после завершения процесса, является искомым результатом вычитания двух исходных натуральных чисел.
Представим схему, иллюстрирующую процесс вычитания столбиком натуральных чисел.
Приведенная схема дает общую картину вычитания натуральных чисел столбиком, однако она не отражает всех тонкостей. С этими тонкостями разберемся при решении примеров. Начнем с самых простых случаев, а дальше будем постепенно продвигаться к более сложным случаям, пока не разберемся со всеми нюансами, которые могут встретиться при вычитании столбиком.
Пример.
Для начала вычтем столбиком из числа 74 805 число 24 003 .
Решение.
Запишем эти числа так, как этого требует метод вычитания столбиком:
Начинаем с вычитания значений разрядов единиц, то есть, вычитаем из числа 5
число 3
. Из таблицы сложения имеем 5−3=2
. Записываем полученные результат под горизонтальную черту в этом же столбике, в котором находятся числа 5
и 3
:
Теперь вычитаем значения разряда десятков (в нашем примере они равны нулю). Имеем 0−0=0
(это свойство вычитания мы упоминали в предыдущем пункте). Записываем полученный нуль под линию в том же столбике:
Идем дальше. Вычитаем значения разряда сотен: 8−0=8
(по свойству вычитания, озвученному в предыдущем пункте). Теперь наша запись примет следующий вид:
Переходим к вычитанию значений разряда тысяч: 4−4=0
(это свойств вычитания равных натуральных чисел). Имеем:
Осталось вычесть значения разряда десятков тысяч: 7−2=5
. Записываем полученное число под черту на нужное место:
На этом вычитание столбиком завершено. Число 50 802 , которое получилось внизу, является результатом вычитания исходных натуральных чисел 74 805 и 24 003 .
Рассмотрим следующий пример.
Пример.
Отнимем столбиком от числа 5 777 число 5 751 .
Решение.
Делаем все так же, как в предыдущем примере – вычитаем значения соответствующих разрядов. После завершения всех шагов запись примет следующий вид:
Под чертой получили число, в записи которого слева находятся цифры 0 . Если эти цифры 0 отбросить, то получим результат вычитания исходных натуральных чисел. В нашем случае отбрасываем две цифры 0 , получившиеся слева. Имеем: разность 5 777−5 751 равна 26 .
До этого момента мы вычитали натуральные числа, записи которых состоят из одинакового количества знаков. Сейчас на примере разберемся, как вычитаются столбиком натуральные числа, когда в записи уменьшаемого больше знаков, чем в записи вычитаемого.
Пример.
Вычтем из числа 502 864 число 2 330 .
Решение.
Записываем уменьшаемое и вычитаемое в столбик:
По очереди вычитаем значения разряда единиц: 4−0=4
; далее – десятков: 6−3=3
; далее – сотен: 8−3=5
; далее – тысяч: 2−2=0
. Получаем:
Теперь, чтобы завершить вычитание столбиком, нам еще нужно вычесть значения разряда десятков тысяч, а дальше – значения разряда сотен тысяч. Но из значений этих разрядов (в нашем примере из чисел 0
и 5
) нам вычитать нечего (так как вычитаемое число 2 330
не имеет цифр в этих разрядах). Как же быть? Очень просто – значения этих разрядов просто переписываются под горизонтальную линию:
На этом вычитание столбиком натуральных чисел 502 864 и 2 330 завершено. Разность равна 500 534 .
Осталось рассмотреть случаи, когда на некотором шаге вычитания столбиком значение разряда уменьшаемого числа меньше, чем значение соответствующего разряда вычитаемого. В этих случаях приходится «занимать» из старших разрядов. Давайте разберемся с этим на примерах.
Пример.
Вычтем столбиком из числа 534 число 71 .
Решение.
На первом шаге вычитаем из 4
число 1
, получаем 3
. Имеем:
На следующем шаге нам нужно вычитать значения разряда десятков, то есть, из числа 3
нужно вычесть число 7
. Так как 3<7
, то мы не можем выполнить вычитание этих натуральных чисел (вычитание натуральных чисел определяется лишь когда вычитаемое не больше, чем уменьшаемое). Что же делать? В этом случае мы берем 1
единицу из старшего разряда и «размениваем» ее. В нашем примере «размениваем» 1
сотню на 10
десятков. Чтобы наглядно отразить наши действия, поставим жирную точку над числом в разряде сотен, а над числом в разряде десятков запишем число 10
, используя другой цвет. Запись примет следующий вид:
Прибавляем полученные после «размена» 10
десятков к 3
имеющимся десяткам: 3+10=13
, и из этого числа вычитаем 7
. Имеем 13−7=6
. Это число 6
записываем под горизонтальной чертой на свое место:
Переходим к вычитанию значений разряда сотен. Здесь мы видим над числом 5 точку, которая означает, что из этого числа мы брали единицу «на размен». То есть, сейчас мы имеем не 5
, а 5−1=4
. От числа 4
больше ничего отнимать не нужно (так как исходное вычитаемое число 71
не содержит цифр в разряде сотен). Таким образом, под горизонтальную черту записываем число 4
:
Итак, разность 534−71 равна 463 .
Иногда при вычитании столбиком «разменивать» единицы из старших разрядов приходится несколько раз. В подтверждение этих слов разберем решение следующего примера.
Пример.
Отнимем от натурального числа 1 632 число 947 столбиком.
Решение.
На первом же шаге нам нужно вычесть из числа 2
число 7
. Так как 2<7
,то сразу приходится «разменивать» 1
десяток на 10
единиц. После этого из суммы 10+2
вычитаем число 7
, получаем (10+2)−7=12−7=5
:
На следующем шаге нам нужно вычесть значения разряда десятков. Мы видим, что над числом 3
стоит точка, то есть, мы имеем не 3
, а 3−1=2
. И от этого числа 2
нам нужно отнять число 4
. Так как 2<4
, то опять приходится прибегать к «размену». Но сейчас уже размениваем 1
сотню на 10
десятков. При этом имеем (10+2)−4=12−4=8
:
Теперь вычитаем значения разряда сотен. Из числа 6
была занята единица на предыдущем шаге, поэтому имеем 6−1=5
. От этого числа нам нужно отнять число 9
. Так как 5<9
, то нам нужно «разменять» 1
тысячу на 10
сотен. Получаем (10+5)−9=15−9=6
:
Остался последний шаг. Из единицы в разряде тысяч мы занимали на предыдущем шаге, поэтому имеем 1−1=0
. От полученного числа нам ничего больше отнимать не нужно. Это число и записываем под горизонтальную черту:
Чтобы найти разность методом «вычитание столбиком » (другими словами, как считать в столбик или столбиком вычитание), необходимо следовать таким шагам:
- поместить вычитаемое под уменьшаемое, записать единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.
- вычесть поразрядно.
- если необходимо занять десяток из большего разряда, то над разрядом, в котором заняли, поставить точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 10.
- если в разряде, в котором заняли, стоит 0, тогда занимаем из следующего разряда уменьшаемого и над ним ставим точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 9, т.к. один десяток занят.
Ниже рассмотренные примеры покажут вам как происходит вычитание двухзначных, трехзначных и любых многозначных чисел столбиком.
Вычитание чисел в столбик очень помогает при вычитании больших чисел (как и сложение в столбик). Лучше всего научиться на примере.
Необходимо записать числа одно под другим таким образом, чтобы крайняя правая цифра 1-го числа стала под крайней правой цифрой 2-го числа. Число, которое больше (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак действия, здесь это «-» (вычитание).
2 - 1 = 1 . То, что у нас получается пишем под чертой:
10 + 3 = 13.
Из 13 вычтем девять.
13 - 9 = 4.
Так как мы заняли десяток у четверки, то она уменьшилось на 1. Для того, чтобы не забыть об этом у нас и стоит точка.
4 - 1 = 3.
Результат:
Вычитание столбиком из чисел, содержащих нули.
Опять же, разберем на примере:
Записываем числа в столбик. Которое больше - сверху. Начинаем вычитание справа налево по одной цифре. 9 - 3 = 6.
Из нуля вычесть 2 не получится, тогда опять занимаем у цифры слева. Это нуль. Ставим над нулем точку. И снова, у нуля занять не получится, тогда двигаемся дальше к следующей цифре. Занимаем у единицы. Ставим над ней точку.
Обратите внимание: когда в вычитании столбиком над 0 есть точка, нуль становится девяткой.
Над нашим нулем есть точка, значит, он стал девяткой. Вычитаем из нее 4. 9 - 4 = 5 . Над единицей есть точка, то есть она уменьшается на 1. 1 - 1 = 0. Полученный нуль не нужно записывать.
Это нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому.
Исходная сумма называется уменьшаемым , известное слагаемое - вычитаемым , а результат (т.е. искомое слагаемое) называется разностью .
Свойства вычитания чисел
1. a - (b + c) = (a - b) - c = (a - c) - b ;
2. (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) ;
3. a - (b - c) = (a - b) + c .
Для наглядного изображения арифметических операций (как сложения так и вычитания) можно использовать числовую прямую - это прямая, которая состоит из точки начала координат (эта точка соответствует нулю) и двух распространяющихся от нее лучей, один из которых соответствует положительным числам, а другой отрицательным.
Пример вычитания на числовой прямой
На этой числовой прямой можно увидеть, что числа находящиеся слева от 0 имеют отрицательное значение. Вычитая из отрицательного числа (в данном случае -1) единицу три раза, мы получим число -1.
Вычитая из положительного числа 4, положительное число 3 (или отрицательное число -1 три раза), получим единицу
Пример
| 4 - 3 = 1 ; | 3 - 4 = - 1 ; |
| -1 -3 = - 4 ; |
Вычитание чисел столбиком
Сначала вычитаются единицы, затем десятки, сотни и т.д. Разность каждого столбца записывается под ним. При необходимости из соседнего левого столбца (т.е. из старшего разряда) занимается 1 .
Рассмотрим несколько примеров вычитания в столбик, приведенных ниже.
Пример вычитания двузначных чисел столбиком
Пример вычитания трехзначных чисел столбиком
Принцип вычитания трехзначных чисел похож на метод вычитания двузначных чисел, в данном случае числа уже не десятки, а сотни.
Пример вычитания четырехзначных чисел столбиком
Принцип вычитания четырехзначных чисел похож на метод вычитания трехзначных чисел, в данном случае числа уже не сотни, а тысячи.
Как вычитать столбиком
Вычитание многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом (уменьшаемое сверху, вычитаемое снизу) так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Слева между числами ставится знак действия. Под вычитаемым проводят черту. Вычисление начинают с разряда единиц: из единиц вычитают единицы, затем из десятков - десятки и т. д. Результат вычитания записывают под чертой:
Рассмотрим пример, когда в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого:
От 2 мы не можем отнять 9, что нам делать в этом случае? В разряде единиц у нас нехватка, но в разряде десятков у уменьшаемого аж 7 десятков, поэтому мы можем один из этих десятков перекинуть в разряд единиц:
В разряде единиц у нас было 2, мы перекинули десяток, стало 12 единиц. Теперь мы легко можем от 12 отнять 9. Записываем под чертой в разряде единиц 3. В разряде десятков у нас было 7 единиц, одну из них мы перекинули в простые единицы, осталось 6 десятков. Записываем под чертой в разряде десятков 6. В результате мы получили число 63:
Вычитание столбиком обычно не записывают так подробно, вместо этого, над цифрой разряда, у которого будет занята единица, ставят точку, чтобы не запоминать, у какого разряда надо будет дополнительно вычесть единицу:
При этом говорят так: из 2 вычесть 9 нельзя, занимаем единицу, из 12 вычитаем 9 - получим 3, пишем 3, в разряде десятков у нас было 7 единиц, мы одну перекинули, осталось 6, пишем 6 .
Теперь рассмотрим вычитание столбиком из чисел, содержащих нули:
Начинаем вычитать. От 7 отнимаем 3, пишем 4. От нуля мы не можем отнять 5, поэтому мы вынуждены занять единицу в старшем разряде, но в старшем разряде у нас тоже 0, поэтому и для этого разряда мы вынуждены занять в более старшем разряде. Занимаем единицу из разряда тысяч, получаем 10 сотен:
Одну из единиц разряда сотен мы занимаем в младший разряд, получаем 10 десятков. Из 10 вычитаем 5, пишем 5:
В разряде сотен у нас осталось 9 единиц поэтому, от 9 отнимаем 6, пишем 3. В разряде тысяч у нас была единица, но мы её потратили на младшие разряды, поэтому здесь остаётся нуль (его записывать не надо). В результате мы получили число 354:
Такая подробная запись решения была приведена, чтобы было проще понять, как выполняется вычитание столбиком из чисел содержащих нули. Как уже упоминалось, на практике решение обычно записывается так:
А все упомянутые действия выполняются в уме. Чтобы было легче выполнять вычитание, запомните простое правило:
Если при вычитании столбиком над нулём стоит точка, нуль превращается в 9.
Калькулятор вычитания столбиком
Данный калькулятор поможет вам выполнить вычитание чисел столбиком. Просто введите уменьшаемое и вычитаемое и нажмите кнопку Вычислить.