Это нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому.
Исходная сумма называется уменьшаемым , известное слагаемое - вычитаемым , а результат (т.е. искомое слагаемое) называется разностью .
Свойства вычитания чисел
1. a - (b + c) = (a - b) - c = (a - c) - b ;
2. (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) ;
3. a - (b - c) = (a - b) + c .
Для наглядного изображения арифметических операций (как сложения так и вычитания) можно использовать числовую прямую - это прямая, которая состоит из точки начала координат (эта точка соответствует нулю) и двух распространяющихся от нее лучей, один из которых соответствует положительным числам, а другой отрицательным.
Пример вычитания на числовой прямой
На этой числовой прямой можно увидеть, что числа находящиеся слева от 0 имеют отрицательное значение. Вычитая из отрицательного числа (в данном случае -1) единицу три раза, мы получим число -1.
Вычитая из положительного числа 4, положительное число 3 (или отрицательное число -1 три раза), получим единицу
Пример
| 4 - 3 = 1 ; | 3 - 4 = - 1 ; |
| -1 -3 = - 4 ; |
Вычитание чисел столбиком
Сначала вычитаются единицы, затем десятки, сотни и т.д. Разность каждого столбца записывается под ним. При необходимости из соседнего левого столбца (т.е. из старшего разряда) занимается 1 .
Рассмотрим несколько примеров вычитания в столбик, приведенных ниже.
Пример вычитания двузначных чисел столбиком
Пример вычитания трехзначных чисел столбиком
Принцип вычитания трехзначных чисел похож на метод вычитания двузначных чисел, в данном случае числа уже не десятки, а сотни.
Пример вычитания четырехзначных чисел столбиком
Принцип вычитания четырехзначных чисел похож на метод вычитания трехзначных чисел, в данном случае числа уже не сотни, а тысячи.
Для того чтобы вычесть одно число из другого, поместим вычитаемое под уменьшаемым, следующим образом: единицы под единицами, десятки под десятками. Для примера, в качестве уменьшаемого возьмем двузначное число, а в качестве вычитаемого – однозначное.
7 – 5 = 2 результатпишем под единицами.
Теперь вычитаем десятки из десятков, но у вычитаемого нет десятков, поэтому опускаем десяток уменьшаемого в ответ.
27 – 5 = 22
Теперь возьмем оба числа двухзначных:
Вычитаем единицы вычитаемого из единиц уменьшаемого:
6 – 4 = 2 результатпишем под единицами
Теперь вычитаем десятки вычитаемого из десятков уменьшаемого:
8 – 3 = 5 результатпишем под десятками.
В результате получаем разность:
86 – 34 = 52
Вычитание с переходом через десяток
Давайте попробуем найти разность следующих чисел:
Вычитаем единицы. Из 7 вычесть 9 нельзя, занимаем один десяток из десятков уменьшаемого. Чтобы не забыть ставим точку над десятками.
17 – 9 = 8
Теперь вычитаем десятки из десятков. У вычитаемого нет десятков, но мы занимали один десяток у уменьшаемого:
2 десятка – 1 десяток = 1 десяток
В результате получаем разность:
27 – 9 = 18
Теперь для примера возьмем трехзначные числа:
Вычитаем единицы. 2
меньше 8
, поэтому занимаем один десяток из десятков уменьшаемого: 2 + 10 = 12 (пишем 10 над единицами). Чтобы не забыть ставим точку над десятками.
12 – 8 = 4 результат пишем под единицами.
Мы занимали один десяток из десятков для единиц, значит в уменьшаемом уже не три десятка, а два (3 десятка – 1 десяток = 2 десятка ).
Два десятка меньше чем шесть, занимаем одну сотню или 10 десятков из сотен (2 десятка + 10 десятков = 12 десятков пишем 10 над десятками уменьшаемого), а чтоб не забыть ставим точку над сотнями. Вычитаем десятки:
12 десятков – 6 десятков = 6 десятков результат пишем под десятками.
Мы занимали одну сотню из сотен уменьшаемого для десятков, значит у нас не 9 сотен, а 8 сотен (9 сотен – 1 сотня = 8 сотен ). Вычитаем сотни:
8 сотен – 7 сотен = 1 сотня . Результат пишем под сотнями.
В результате получаем:
932 – 768 = 164
Усложним задачу. Что делать если в разряде, из которого надо занять десяток, равен нулю? Например:
Начинаем с единиц. 2
меньше 8
, то есть надо занять из десятков. Но у уменьшаемого в десятках 0
, значит, для десятков надо занимать у сотен. В разряде сотен в уменьшаемом тоже 0
, занимаем из тысяч. Чтобы не забыть ставим над тысячами точку.
В сотнях уменьшаемого остается 9 , так как мы занимаем одну сотню для десятков: 10 – 1 = 9 пишем 9 над сотнями.
В десятках тоже остается 9 , так как мы заняли один десяток для единиц: 10 – 1 = 9 пишем 9 над десятками, а над единицами пишем 10 .
Считаем единицы:
12 – 8 = 4 пишем результат под единицами.
В десятках уменьшаемого осталось 9 , считаем:
9 – 6 = 3 пишем результат под десятками.
В сотнях уменьшаемого осталось 9 , у вычитаемого сотен нет, опускаем 9 в ответ под сотни.
В разряде тысяч уменьшаемого была 1 , мы её занимали (точка над тысячами), значит тысяч больше не осталось. В результате получаем:
1002 – 68 = 934
Итак, подведем итог.
Для того чтобы найти разность двух чисел (вычитание столбиком) :
- помещаем вычитаемое под уменьшаемым, пишем единицы под единицами, десятки под десятками и так далее.
- Вычитаем поразрядно.
- Если надо занять десяток из следующего разряда, то над разрядом, из которого занимали, ставим точку. Над разрядом, для которого занимаем, ставим 10.
- Если в разряде, из которого занимаем, стоит 0, то для него занимаем из следующего разряда уменьшаемого, над которым ставим точку. Над разрядом, для которого занимали, ставим 9, так как один десяток заняли.
Существует удобный метод нахождения разности двух натуральных чисел – вычитание в столбик, или вычитание столбиком. Этот способ берет свое название от метода записи уменьшаемого и разности друг под другом. Так можно провести и основные, и промежуточные вычисления в соответствии с нужными разрядами чисел.
Этим методом удобно пользоваться, поскольку это очень просто, быстро и наглядно. Все сложные на первый взгляд подсчеты можно свести к сложению и вычитанию простых чисел.
Ниже мы рассмотрим, как именно пользоваться этим методом. Наши рассуждения будут подкреплены примерами для большей наглядности.
Что нужно повторить перед изучением вычитания столбиком?
Метод основан на некоторых простых действиях, которые мы уже разбирали ранее. Необходимо повторить, как правильно вычитать с помощью таблицы сложения. Также желательно знать основное свойство вычитания равных натуральных чисел (в буквенном виде оно записывается как a − a = 0). Нам понадобятся следующие из него равенства a − 0 = a и 0 − 0 = 0 , где a – любое произвольно взятое натуральное число (если требуется, посмотрите основные свойства нахождения разности целых чисел).
Кроме того, важно знать, как определять разряд натуральных чисел.
Главное на первом этапе – правильно записать исходные данные. Для начала записываем первое число, из которого будем вычитать. Под ним располагаем вычитаемое. Цифры должны быть расположены строго одна под другой с учетом разряда: десятки под десятками, сотни под сотнями, единицы под единицами. Запись читается справа налево. Далее ставим минус с левой стороны от столбика и подводим черту под обоими числами. Под ней будет записываться конечный результат.
Пример 1
Покажем на примере, какая запись подсчета является правильной:
С помощью первой мы можем найти, сколько будет 56 − 9 , с помощью второй – 3 004 − 1 670 , третьей – 203 604 500 − 56 777 .
Как видно, с помощью этого метода можно производить вычисления разной сложности.
Далее рассмотрим сам процесс нахождения разности. Для этого выполняем поочередное вычитание значений разрядов: сначала вычитаем единицы из единиц, потом десятки из десятков, потом сотни из сотен и т.д. Значения записываем под чертой, отделяющей исходные данные от результата. В итоге у нас должно получиться число, которое и будет верным ответом задачи, т.е. разностью исходных чисел.
Как именно выполняются подсчеты, можно увидеть на этой схеме:
С общей картиной записи и подсчета мы разобрались. Однако в методе есть и некоторые моменты, нуждающиеся в уточнении. Для этого мы приведем конкретные примеры и поясним их. Начнем с простейших задач и будем постепенно наращивать сложность, пока наконец не разберем все нюансы.
Советуем внимательно прочитать все примеры, потому что каждый из них иллюстрирует отдельные непонятные моменты. Если вы дойдете до конца и запомните все объяснения, то подсчет разности натуральных чисел в дальнейшем не будет вызывать у вас ни малейших затруднений.
Пример 2
Условие: найдем разность 74 805 - 24 003 с помощью вычитания столбиком.
Решение:
Запишем эти числа одно под другим, правильно расположив разряды друг под другом, и подчеркнем их:
Вычитание начинается справа налево, то есть с единиц. Считаем: 5 - 3 = 2 (если нужно, повторите таблицы сложения натуральных чисел). Итог запишем под чертой там, где указаны единицы:
Вычитаем десятки. Оба значения в нашем столбике нулевые, а вычитание нуля из нуля всегда дает нуль (как вы помните, мы упоминали, что нам в дальнейшем потребуется это свойство вычитания). Результат записываем в нужное место:
Следующий шаг – нахождение значения разности тысяч: 4 − 4 = 0 . Получившийся нуль записываем на положенное ему место и получаем в итоге:
У нас получилось 50 802 , которое и будет верным ответом для указанного выше примера. На этом вычисления завершены.
Ответ: 50 802 .
Возьмем другой пример:
Пример 3
Условие : подсчитаем, сколько будет 5 777 - 5 751 с помощью метода нахождения разности столбиком.
Решение:
Шаги, которые нам нужно сделать, мы уже приводили выше. Выполняем их последовательно для новых чисел и получаем в итоге:
В начале результата стоит два нуля. Т.к. они стоят первыми, то можно смело их отбросить и получить в ответе 26 . Это число и будет правильным ответом нашего примера.
Ответ: 26 .
Если посмотреть на условия двух примеров, приведенных выше, легко заметить, что до сих пор мы брали только числа, равные по количеству знаков. Но метод столбика можно использовать и тогда, когда уменьшаемое включает в себя больше знаков, чем вычитаемое.
Пример 4
Условие: найдем разность 502 864 число 2 330 .
Решение
Запишем числа друг под другом, соблюдая нужную соотнесенность разрядов. Это будет выглядеть так:
Теперь поочередно вычисляем значения:
– единиц: 4 − 0 = 4 ;
– десятков: 6 − 3 = 3 ;
– сотен: 8 − 3 = 5 ;
– тысяч: 2 − 2 = 0 .
Запишем, что у нас получилось:
Вычитаемое имеет значения в месте десятков и сотен тысяч, а вот уменьшаемое нет. Что же делать? Вспомним, что пустота в математических примерах равнозначна нулю. Значит, нам нужно вычесть нули из исходных значений. Вычитание нуля из натурального числа всегда дает нуль, следовательно, все, что нам остается, – это переписать исходные значения разрядов в область ответа:
Наши подсчеты завершены. Мы получили итог: 502 864 - 2 330 = 500 534 .
Ответ: 500 534 .
В наших примерах значения разрядов вычитаемого всегда оказывались меньше, чем значения уменьшаемого, поэтому никаких трудностей при подсчете это не вызывало. Что делать, если из значения верхней строки нельзя вычесть значение нижней, не уйдя при этом в минус? Тогда нам нужно "взять взаймы" значения более старших разрядов. Возьмем конкретный пример.
Пример 5
Условие: найдите разность 534 - 71 .
Пишем уже привычный нам столбик и делаем первый шаг вычислений: 4 - 1 = 3 . Получаем:
Далее нам надо перейти к подсчету десятков. Для этого нам надо из 3 вычесть 7 . Это действие с натуральными числами выполнить нельзя, ведь оно имеет смысл только при таком уменьшаемом, которое больше вычитаемого. Поэтому в данном примере нам нужно "занять" единицу из старшего разряда и тем самым "разменять" его. То есть 100 мы как бы меняем на 10 десяток и берем одну из них. Чтобы не забыть об этом, отметим нужный разряд точкой, а в десятках запишем 10 другим цветом. У нас получилась запись следующего вида:
Получившийся результат пишем на нужном месте под чертой:
Нам осталось закончить подсчет, вычислив сотни. У нас стоит точка над числом 5: это значит, что мы отсюда брали десяток для предыдущего разряда. Тогда 5 − 1 = 4 . От четверки же ничего отнимать не нужно, поскольку вычитаемое в разряде сотен значений не имеет. Записываем 4 на место и получаем ответ:
Ответ : 463 .
Зачастую выполнять действие "размена" в рамках одного примера приходится несколько раз. Разберем такую задачу.
Пример 6
Условие: сколько будет 1 632 - 947 ?
Решение
В первом же этапе подсчета надо вычесть двойку из семерки, так что сразу "занимаем" десятку для размена на 10 единиц. Отмечаем это действие точкой и считаем 10 + 2 - 7 = 5 . Вот как выглядит наша запись с отметками:
Далее нам надо подсчитать десятки. Указанная точка означает, что для вычислений мы берем в этом разряде число на единицу меньше: 3 − 1 = 2 . Из двойки нам придется вычитать четверку, так что "размениваем" сотни. У нас получается (10 + 2) − 4 = 12 − 4 = 8 .
Движемся дальше к подсчету сотен. Из шестерки мы уже занимали единицу, так что 6 − 1 = 5 . Из пятерки вычитаем девятку, для чего берем имеющуюся у нас тысячу и "размениваем" ее на 10 сотен. Таким образом, (10 + 5) − 9 = 15 − 9 = 6 . Теперь наша запись с примечаниями выглядит так:
Нам осталось сделать подсчеты в тысячном разряде. Одну единицу отсюда мы уже занимали, так что 1 − 1 = 0 . Пишем результат под итоговую черту и смотрим, что получилось:
На этом вычисления закончены. Нуль в начале можно отбросить. Значит, 1 632 − 947 = 685 .
Ответ: 685 .
Возьмем еще более сложный пример.
Как вычитать столбиком
Вычитание многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом (уменьшаемое сверху, вычитаемое снизу) так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Слева между числами ставится знак действия. Под вычитаемым проводят черту. Вычисление начинают с разряда единиц: из единиц вычитают единицы, затем из десятков - десятки и т. д. Результат вычитания записывают под чертой:
Рассмотрим пример, когда в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого:
От 2 мы не можем отнять 9, что нам делать в этом случае? В разряде единиц у нас нехватка, но в разряде десятков у уменьшаемого аж 7 десятков, поэтому мы можем один из этих десятков перекинуть в разряд единиц:
В разряде единиц у нас было 2, мы перекинули десяток, стало 12 единиц. Теперь мы легко можем от 12 отнять 9. Записываем под чертой в разряде единиц 3. В разряде десятков у нас было 7 единиц, одну из них мы перекинули в простые единицы, осталось 6 десятков. Записываем под чертой в разряде десятков 6. В результате мы получили число 63:
Вычитание столбиком обычно не записывают так подробно, вместо этого, над цифрой разряда, у которого будет занята единица, ставят точку, чтобы не запоминать, у какого разряда надо будет дополнительно вычесть единицу:
При этом говорят так: из 2 вычесть 9 нельзя, занимаем единицу, из 12 вычитаем 9 - получим 3, пишем 3, в разряде десятков у нас было 7 единиц, мы одну перекинули, осталось 6, пишем 6 .
Теперь рассмотрим вычитание столбиком из чисел, содержащих нули:
Начинаем вычитать. От 7 отнимаем 3, пишем 4. От нуля мы не можем отнять 5, поэтому мы вынуждены занять единицу в старшем разряде, но в старшем разряде у нас тоже 0, поэтому и для этого разряда мы вынуждены занять в более старшем разряде. Занимаем единицу из разряда тысяч, получаем 10 сотен:
Одну из единиц разряда сотен мы занимаем в младший разряд, получаем 10 десятков. Из 10 вычитаем 5, пишем 5:
В разряде сотен у нас осталось 9 единиц поэтому, от 9 отнимаем 6, пишем 3. В разряде тысяч у нас была единица, но мы её потратили на младшие разряды, поэтому здесь остаётся нуль (его записывать не надо). В результате мы получили число 354:
Такая подробная запись решения была приведена, чтобы было проще понять, как выполняется вычитание столбиком из чисел содержащих нули. Как уже упоминалось, на практике решение обычно записывается так:
А все упомянутые действия выполняются в уме. Чтобы было легче выполнять вычитание, запомните простое правило:
Если при вычитании столбиком над нулём стоит точка, нуль превращается в 9.
Калькулятор вычитания столбиком
Данный калькулятор поможет вам выполнить вычитание чисел столбиком. Просто введите уменьшаемое и вычитаемое и нажмите кнопку Вычислить.
Чтобы найти разность методом «вычитание столбиком » (другими словами, как считать в столбик или столбиком вычитание), необходимо следовать таким шагам:
- поместить вычитаемое под уменьшаемое, записать единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.
- вычесть поразрядно.
- если необходимо занять десяток из большего разряда, то над разрядом, в котором заняли, поставить точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 10.
- если в разряде, в котором заняли, стоит 0, тогда занимаем из следующего разряда уменьшаемого и над ним ставим точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 9, т.к. один десяток занят.
Ниже рассмотренные примеры покажут вам как происходит вычитание двухзначных, трехзначных и любых многозначных чисел столбиком.
Вычитание чисел в столбик очень помогает при вычитании больших чисел (как и сложение в столбик). Лучше всего научиться на примере.
Необходимо записать числа одно под другим таким образом, чтобы крайняя правая цифра 1-го числа стала под крайней правой цифрой 2-го числа. Число, которое больше (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак действия, здесь это «-» (вычитание).
2 - 1 = 1 . То, что у нас получается пишем под чертой:
10 + 3 = 13.
Из 13 вычтем девять.
13 - 9 = 4.
Так как мы заняли десяток у четверки, то она уменьшилось на 1. Для того, чтобы не забыть об этом у нас и стоит точка.
4 - 1 = 3.
Результат:
Вычитание столбиком из чисел, содержащих нули.
Опять же, разберем на примере:
Записываем числа в столбик. Которое больше - сверху. Начинаем вычитание справа налево по одной цифре. 9 - 3 = 6.
Из нуля вычесть 2 не получится, тогда опять занимаем у цифры слева. Это нуль. Ставим над нулем точку. И снова, у нуля занять не получится, тогда двигаемся дальше к следующей цифре. Занимаем у единицы. Ставим над ней точку.
Обратите внимание: когда в вычитании столбиком над 0 есть точка, нуль становится девяткой.
Над нашим нулем есть точка, значит, он стал девяткой. Вычитаем из нее 4. 9 - 4 = 5 . Над единицей есть точка, то есть она уменьшается на 1. 1 - 1 = 0. Полученный нуль не нужно записывать.
